Замкнутая кривая как называется

Содержание

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Плоская замкнутая кривая

Плоская, замкнутая кривая , образуемая сопряжением нескольких дуг окружностей. Такие овалы бывают трехцентровые и многоцентровые. [1]

Эллипс — плоская замкнутая кривая , для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух точек F и F, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. Точки F и F, называют фокусами эллипса. [2]

Овалом называется плоская замкнутая кривая , обладающая тем свойством, что прямая линия может иметь с ней не более двух общих точек. [3]

Эллипс — плоская замкнутая кривая , которую следует рассматривать как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек F и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная. [5]

Эллипс — плоская замкнутая кривая — множество точек плоскости, для которых сумма расстояний от заданных точек — фокусов F ] и FZ — есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. [7]

Рассмотрим теперь проводник в форме плоской замкнутой кривой , расположенный в произвольном месте внутри оболочки в плоскости, перпендикулярной ее оси. [8]

Эллипс ( от греческого слова elleipsis — недостаток) — плоская замкнутая кривая — геометрическое место точек, сумма расстояний которых от заданных точек — фокусов Рг и Fz, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. На рис. 66, а показано образование эллипса, большая и малая оси которого АВ и CD взаимно перпендикулярны. [9]

Это можно выразить словесно в виде следующей теоремы: среди всех плоских замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь охватывает окружность. [10]

Простейший случай — это то, что я назову естественными диаграммами Венна. Я имею в виду внутреннюю область простой плоской замкнутой кривой , которая получается, если изобразить такую кривую на плоскости и, может быть, заштриховать то, что окажется в этой области. Очевидно, эти изображения удовлетворяют названным требованиям в такой же мере, как обычные изображения треугольников и функций. Они просты и не подлежат обсуждению. [11]

Изучение полета крыла в атмосфере при предположении, что оно представляет собой бесконечный цилиндр, математически может быть моделировано в терминах плоскопараллельного движения жидкости, обтекающей цилиндр. Когда скорость полета значительно ниже скорости звука, атмосферу можно принять за несжимаемую идеальную жидкость и задачу свести к исследованию обтекания плоской замкнутой кривой Г ( не обязательно формы окружности) плоскопараллельным потоком. [12]

Источник

Кривая

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Содержание

Элементарная геометрия

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» Евклида она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».

По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и некоторые трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.

Определение в топологии

Отображение отрезка

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в пространство:

При этом, кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если [ a , b ] = [ 0 , 1 ] <\displaystyle [a,b]=[0,1]> , путями.

Отношение эквивалентности

Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые

γ 1 : [ a 1 , b 1 ] → X <\displaystyle \gamma _<1>\colon [a_<1>,b_<1>]\to X> и γ 2 : [ a 2 , b 2 ] → X <\displaystyle \gamma _<2>\colon [a_<2>,b_<2>]\to X>

эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) h <\displaystyle h> из отрезка [ a 1 , b 1 ] <\displaystyle [a_<1>,b_<1>]> на отрезок [ a 2 , b 2 ] <\displaystyle [a_<2>,b_<2>]> , такая что

Комментарий

Приведённое определение во многом позволяет передать наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша». Однако это определение является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые трудно считать кривыми.

Например, возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат (см. кривая Пеано). Более того, согласно теореме Мазуркевича, любое компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

Кривая Жордана

Кривой Жордана или простой кривой называется образ непрерывного инъективного отображения (вложения) окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой.

Известная теорема Жордана утверждает, что любая замкнутая кривая Жордана на плоскости делит её на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.

Кривая Жордана является довольно сложным объектом, например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега, этот пример аналогичен кривой Пеано был построен Осгудом [1] . .

Определение в анализе

В математическом анализе часто используется определение гладкой кривой. Определим сначала плоскую кривую (то есть кривую в R 2 <\displaystyle R^<2>> ). Пусть x ( t ) <\displaystyle x(t)> и y ( t ) <\displaystyle y(t)> — функции на отрезке [ a , b ] <\displaystyle [a,b]> , непрерывно дифференцируемые на этом отрезке, и такие, что ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 <\displaystyle (x'(t))^<2>+(y'(t))^<2>> ни для какого t не равно нулю. Тогда отображение γ : [ a , b ] → R 2 , t ↦ ( x ( t ) , y ( t ) ) <\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb ^<2>,t\mapsto (x(t),y(t))> задаёт кривую, которая является гладкой; непараметризованная кривая называется гладкой, если она допускает такую параметризацию. Длину гладкой кривой можно вычислить по формуле

L ( γ ) = ∫ a b ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t . <\displaystyle <\text>(\gamma )=\int _^<\sqrt <(x'(t))^<2>+(y'(t))^<2>>>\,dt.>

Это определение можно обобщить на отображения в другие пространства, а также на отображения другого класса гладкости, см. ниже.

Определение в дифференциальной геометрии

Если X <\displaystyle X> — гладкое многообразие, можно определить гладкую кривую на X <\displaystyle X> как гладкое отображение γ : [ a , b ] → X <\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X> , дифференциал которого нигде не обращается в нуль. Если класс гладкости многообразия X <\displaystyle X> равен k <\displaystyle k> , то C k <\displaystyle C_> -кривая вводится как кривая, для которой γ <\displaystyle \gamma > — k <\displaystyle k> раз непрерывно дифференцируемое отображение. Если X <\displaystyle X> — аналитическое многообразие (например, евклидово пространство) и γ <\displaystyle \gamma > — аналитическое отображение, кривую называют аналитической.

Гладкие кривые γ 1 : I → X <\displaystyle \gamma _<1>\colon I\to X> и γ 2 : J → X <\displaystyle \gamma _<2>\colon J\to X> называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм p : I → J <\displaystyle p\colon I\to J> (замена параметра), такой что γ 1 = γ 2 ∘ p <\displaystyle \gamma _<1>=\gamma _<2>\circ p> . Классы эквивалентности по этому отношению называют непараметризованными гладкими кривыми.

Алгебраические кривые

Алгебраические кривые изучаются в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами x, y, задаваемое множество решений уравнения f(x, y) = 0, где f — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле F. В алгебраической геометрии обычно принимают во внимание не только точки, координаты которых принадлежат F, но и точки с координатами в алгебраическом замыкании F. Если C — плоская алгебраическая кривая, такая что коэффициенты определяющего её многочлена лежат в поле F, она назывется кривой, определённой над F. Точки кривой, определённой над F, все координаты которых принадлежат G, называются рациональными над G (или просто G-точками). Пример: кривая x 2 + y 2 + 1 = 0, определённая над действительными числами, имеет точки, однако ни одна из них не является действительной точкой.

Читайте также: Как называется метатель ядра
Алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей размерности; они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений.

Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на проективной плоскости. Если плоская кривая определяется многочленом f(x, y) полной степени d, то многочлен

z d ⋅ f ( x / z , y / z ) <\displaystyle z^\cdot f(x/z,y/z)>

после раскрытия скобок упрощается до однородного многочлена f(x, y, z) степени d. Значения x, y, z, такие что f(x, y, z) = 0 — однородные координаты пополнения плоской кривой, при этом точки исходной кривой — это точки, для которых z не равно нулю. Пример: кривая Ферма x n + y n = z n в аффинной форме принимает вид x n + y n = 1. Процесс перехода от аффинной кривой к проективной можно обобщить и на более высокие размерности.

Часто встречающиеся примеры плоских кривых — коники (кривые второго порядка) и эллиптические кривые, имеющие важные приложения в криптографии. В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:

Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли и овал Кассини.

Кривые шестого порядка: астроида и нефроида.

Кривая, определяемая уравнением произвольной чётной степени: (многофокусная) лемниската.

Трансцендентные кривые

Трансцендентные кривые — это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня аналитической, но не алгебраической функции (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры трансцендентных кривых:

Типы кривых

Замкнутая кривая — кривая у которой начало совпадает с концом.

Плоская кривая — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.

Простая кривая — то же, что кривая Жордана.

Путь — непрерывное отображение отрезка [ 0 , 1 ] <\displaystyle [0,1]>в топологическое пространство.

Типы точек на кривой

Обобщённые кривые

Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:

Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.

Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая L <\displaystyle L> , она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество L ′ <\displaystyle L'> , гомеоморфное L <\displaystyle L> . Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

Впоследствии это определение было обобщено Урысоном:

Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство C <\displaystyle C> топологической размерности 1.

Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

Источник